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Zur Integration von Wurzeln eignen sich oft Substitutionen mit trigonometrischen Funktionen.

1. Gesucht ist das folgende Integral:

   $         \int {\frac{dt}{\sqrt{9-x^2}}}    $

Wir substituieren mit:

   $         x=3\sin(t)  $
$ dx = \frac{d(3sin(t))}{dt}dt = 3cos(t)dt          $


Dabei wird der trigonometrische Pythagoras ausgenutzt:

$ \sqrt{A - Asin^2(x)}=\sqrt{A}cos(x) $

Das substituierte Integral sieht wie folgt aus:

$         \int {\frac{3cos(t)}{3cos(t)}}dt = \int dt = t + C  $

Resubstitution ist für den gesamten Definitionsbereich des Integrals eindeutig:

$ t = arcsin(\frac{x}{3}) $

Das Endergebnis:

   $         \int {\frac{dt}{\sqrt{9-x^2}}} = arcsin(\frac{x}{3}) + C    $

(Alternativ kann mit x=cos(t) substituiert werden)