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Stufe

Gesucht wird die Fourierreihe der folgenden Funktion, die sich  2\pi -periodisch wiederholen soll:


f(x)=
\begin{cases}
-1 : & -\pi \le x < 0\\
+1 : & 0 \le x < \pi
\end{cases}

LösungBearbeiten

Da f(x) gerade ist, gilt: a_n=0

Die Fourierkoeffizienten b_n können mit folgendem Integral ermittelt werden, wobei ausgenutzt wurde, dass f(x) und sin(x) ungerade funktionen sind:

   
    b_n=2\frac{1}{\pi}\int_{0}^\pi sin(nx) dt
     

Man erhält schließlich:

b_n = -\frac{2}{\pi n}cos(n\pi)+\frac{2}{\pi n}

Für ganzzahliges n also:

 \frac{2}{\pi n}(-1)^{n+1}+\frac{2}{\pi n} = \begin{cases}
\frac{2}{\pi n} : &  ungerades\ n\\
0 : & gerades\ n
\end{cases}

Eine mögliche Reihendarstellung sieht dann wie folgt aus:

 f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{4sin((2n+1)x)}{\pi (2n+1)}


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Grafische DarstellungBearbeiten

Die erste Näherung besteht aus der Überlagerung von zwei Sinusschwingungen:

Stufe1

Analog die fünfte Näherung:

Stufe5