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Stufe

Gesucht wird die Fourierreihe der folgenden Funktion, die sich $ 2\pi $-periodisch wiederholen soll:

$ f(x)= \begin{cases} -1 : & -\pi \le x < 0\\ +1 : & 0 \le x < \pi \end{cases} $

LösungBearbeiten

Da f(x) gerade ist, gilt: $ a_n=0 $

Die Fourierkoeffizienten $ b_n $ können mit folgendem Integral ermittelt werden, wobei ausgenutzt wurde, dass f(x) und sin(x) ungerade funktionen sind:

   $      b_n=2\frac{1}{\pi}\int_{0}^\pi sin(nx) dt       $

Man erhält schließlich:

$ b_n = -\frac{2}{\pi n}cos(n\pi)+\frac{2}{\pi n} $

Für ganzzahliges n also:

$ \frac{2}{\pi n}(-1)^{n+1}+\frac{2}{\pi n} = \begin{cases} \frac{2}{\pi n} : & ungerades\ n\\ 0 : & gerades\ n \end{cases} $

Eine mögliche Reihendarstellung sieht dann wie folgt aus:

$ f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{4sin((2n+1)x)}{\pi (2n+1)} $


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Grafische DarstellungBearbeiten

Die erste Näherung besteht aus der Überlagerung von zwei Sinusschwingungen:

Stufe1

Analog die fünfte Näherung:

Stufe5